Mínimo común múltiplo y máximo común divisor (mcm y mcd) paso a paso

El mínimo común múltiplo (mcm) y el máximo común divisor (mcd) aparecen en 5º y 6º de primaria y se usan durante toda la ESO: para sumar fracciones, para simplificarlas y para resolver muchos problemas de repartos y horarios. En esta guía te explicamos qué son, cómo se calculan descomponiendo en factores primos y cómo comprobar que el resultado está bien. Para las divisiones de la descomposición puedes ayudarte de la calculadora de divisiones paso a paso.

Qué es el mcm y qué es el mcd

• Los múltiplos de un número se obtienen multiplicándolo por 1, 2, 3, 4… Los múltiplos de 12 son 12, 24, 36, 48, 60, 72…
• Los divisores de un número son los que lo dividen de forma exacta, sin resto. Los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12.
• El mcm de varios números es el múltiplo más pequeño que tienen en común (sin contar el 0).
• El mcd de varios números es el divisor más grande que tienen en común.

Si todavía dudas de cuándo una división es exacta, repasa la división exacta e inexacta.

Ejemplo 1: mcm y mcd de 12 y 18 haciendo listas

Con números pequeños basta con escribir listas.

1. Múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72… Múltiplos de 18: 18, 36, 54, 72… El primero que se repite es el 36, así que mcm(12, 18) = 36.
2. Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Los comunes son 1, 2, 3 y 6; el mayor es el 6, así que mcd(12, 18) = 6.

Prueba: 6 × 36 = 216 y 12 × 18 = 216 ✔

Con números grandes las listas se hacen muy largas. Por eso se usa la descomposición en factores primos.

Paso previo: descomponer en factores primos

Un número primo solo se puede dividir entre 1 y entre sí mismo: 2, 3, 5, 7, 11, 13… Descomponer un número es escribirlo como una multiplicación de primos. Se hace con una tabla: a la izquierda el número, a la derecha el primo más pequeño que lo divide, y así hasta llegar a 1. Los criterios de divisibilidad te dicen rápido si un número se puede dividir entre 2, 3 o 5.

Por tanto, 360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 2³ × 3² × 5. Prueba: 8 × 9 × 5 = 360 ✔

La regla para calcular el mcd y el mcm

Una vez descompuestos los números:

Un truco para no confundirse: el mcd es pequeño (es un divisor), así que coge poco; el mcm es grande (es un múltiplo), así que lo coge todo.

Ejemplo 2: mcm y mcd de 72 y 120

1. Descomponemos. 72 ÷ 2 = 36, 36 ÷ 2 = 18, 18 ÷ 2 = 9, 9 ÷ 3 = 3, 3 ÷ 3 = 1. Entonces 72 = 2³ × 3². Del mismo modo, 120 ÷ 2 = 60, 60 ÷ 2 = 30, 30 ÷ 2 = 15, 15 ÷ 3 = 5, 5 ÷ 5 = 1, y 120 = 2³ × 3 × 5.
2. mcd: los factores comunes son el 2 y el 3. Con el menor exponente: 2³ y 3. mcd(72, 120) = 2³ × 3 = 8 × 3 = 24.
3. mcm: cogemos 2, 3 y 5 con el mayor exponente: 2³, 3² y 5. mcm(72, 120) = 8 × 9 × 5 = 360.

Prueba: mcd × mcm = 24 × 360 = 8640, y 72 × 120 = 8640 ✔. Además, 72 ÷ 24 = 3 y 120 ÷ 24 = 5 son divisiones exactas, y 360 ÷ 72 = 5 y 360 ÷ 120 = 3 también.

Ejemplo 3: con tres números, 24, 36 y 60

1. Descomponemos: 24 = 2³ × 3, 36 = 2² × 3² y 60 = 2² × 3 × 5.
2. mcd: los factores que están en los tres son el 2 y el 3. El menor exponente del 2 es 2 (2²) y el del 3 es 1. mcd = 2² × 3 = 12.
3. mcm: todos los factores (2, 3 y 5) con el mayor exponente: 2³, 3² y 5. mcm = 8 × 9 × 5 = 360.

Prueba: 24, 36 y 60 se pueden dividir entre 12 (dan 2, 3 y 5), y 360 se puede dividir entre los tres (da 15, 10 y 6) ✔. Ojo: con tres números el truco de mcd × mcm = producto no funciona; solo vale para dos números.

¿mcm o mcd? Cómo saberlo en un problema

• Se usa el mcm cuando algo se repite y queremos saber cuándo vuelve a coincidir. Ejemplo: un autobús pasa cada 12 minutos y otro cada 18. Si salen juntos a las 8:00, vuelven a coincidir dentro de mcm(12, 18) = 36 minutos, es decir, a las 8:36.
• Se usa el mcd cuando hay que repartir o cortar en partes iguales lo más grandes posible. Ejemplo: tenemos una cinta de 72 cm y otra de 120 cm y queremos cortarlas en trozos iguales, lo más largos posible y sin que sobre nada. Cada trozo medirá mcd(72, 120) = 24 cm y saldrán 3 + 5 = 8 trozos.

Pista: si la respuesta tiene que ser mayor que los datos, es un mcm; si tiene que ser menor, es un mcd.

Errores típicos

• Coger los no comunes en el mcd. En el mcd solo entran los factores que aparecen en todos los números.
• Equivocarse con los exponentes: menor para el mcd, mayor para el mcm.
• Usar números que no son primos al descomponer, como dividir entre 4 o entre 6. Divide siempre entre 2, 3, 5, 7…
• Olvidar el 1 cuando no hay factores comunes: si dos números no comparten ningún primo, su mcd es 1 y su mcm es su producto.
• No comprobar el resultado: el mcd tiene que dividir a todos los números y el mcm tiene que ser múltiplo de todos.

Ejercicios con solución

• 6 y 8 → mcd = 2, mcm = 24
• 16 y 40 → mcd = 8, mcm = 80
• 45 y 150 → mcd = 15, mcm = 450
• 84 y 90 → mcd = 6, mcm = 1260
• 48 y 180 → mcd = 12, mcm = 720
• 12, 15 y 20 → mcd = 1, mcm = 60

Comprueba los de dos números con la regla mcd × mcm = a × b: por ejemplo, 6 × 1260 = 7560 = 84 × 90.

Preguntas frecuentes

Sigue aprendiendo

Todas las guías de dividir, ordenadas de la más fácil a la más avanzada, están en la sección de guías de divisiones. Te recomendamos:

• Criterios de divisibilidad: saber si un número se divide entre 2, 3, 5 o 9 sin hacer la división
• División exacta e inexacta: qué te dice el resto
• Prueba de la división: cómo comprobar que una división está bien
• Cómo simplificar fracciones
• Suma y resta de fracciones
• Números primos del 1 al 100