Propiedades de la multiplicación: explicación y ejemplos resueltos

Las propiedades de la multiplicación son reglas que se cumplen siempre, sean cuales sean los números. Parecen teoría para memorizar, pero en realidad son atajos: te permiten cambiar el orden de los números, agruparlos como más te convenga o partir una multiplicación difícil en dos fáciles. En esta guía verás qué dice cada una, para qué sirve y cómo usarla con ejemplos resueltos. Puedes comprobar cualquier resultado en la calculadora de multiplicaciones paso a paso.

Las 5 propiedades de un vistazo

En el colegio se suelen estudiar primero la conmutativa y la asociativa (en 3º y 4º de primaria), y después la distributiva, que se vuelve a trabajar en ESO para sacar factor común.

Propiedad conmutativa

Dice que el orden de los factores no altera el producto: a × b = b × a. Por eso 7 × 8 y 8 × 7 dan lo mismo, 56. Esta propiedad tiene una consecuencia muy práctica: si te sabes la tabla del 3, ya sabes la mitad de la tabla del 8, porque 8 × 3 es lo mismo que 3 × 8. Lo explicamos con más detalle en la guía de tablas de multiplicar.

También sirve al hacer la cuenta en el cuaderno: en 6 × 4825 es más cómodo escribir el número largo arriba y multiplicar por la cifra de abajo.

Propiedad asociativa

Cuando multiplicas tres o más números, da igual cómo los agrupes: (a × b) × c = a × (b × c). Junto con la conmutativa, esto te deja buscar parejas que den números redondos. Las parejas más útiles son 2 × 5 = 10, 4 × 25 = 100 y 8 × 125 = 1000.

Por ejemplo, 25 × 7 × 4 parece difícil, pero si juntas el 25 con el 4 queda (25 × 4) × 7 = 100 × 7 = 700.

Elemento neutro y el cero

• Elemento neutro: el 1. Cualquier número multiplicado por 1 da el mismo número (9 × 1 = 9). No confundas: en la suma el elemento neutro es el 0.
• Elemento absorbente: el 0. Cualquier número multiplicado por 0 da 0, por grande que sea: 345 × 12 × 0 = 0. Si en una cadena de multiplicaciones aparece un 0, ya sabes el resultado sin hacer nada más.

Propiedad distributiva

Es la más útil y la que más cuesta al principio. Dice que multiplicar un número por una suma es lo mismo que multiplicarlo por cada sumando y después sumar: a × (b + c) = a × b + a × c. También funciona con la resta: a × (b − c) = a × b − a × c.

Aunque no lo sepas, ya la usas: cuando haces 234 × 56 en el cuaderno, en realidad calculas 234 × 6 = 1404 y 234 × 50 = 11 700, y sumas: 13 104. Los productos parciales de la multiplicación por dos cifras son la propiedad distributiva en acción.

Ejemplo 1: 4 × 17 × 25 (asociativa y conmutativa)

1. Buscamos una pareja redonda. El 4 y el 25 dan 100.
2. Cambiamos el orden (conmutativa): 4 × 25 × 17.
3. Agrupamos (asociativa): (4 × 25) × 17 = 100 × 17.
4. Resultado: 100 × 17 = 1700. Multiplicar por 100 es añadir dos ceros, como ves en multiplicar por 10, 100 y 1000.

Prueba: en el orden original, 4 × 17 = 68 y 68 × 25 = 1700 ✔

Ejemplo 2: 8 × 53 de cabeza (distributiva con suma)

1. Descomponemos el número difícil: 53 = 50 + 3.
2. Multiplicamos cada parte: 8 × 50 = 400 y 8 × 3 = 24.
3. Sumamos: 400 + 24 = 424.

Prueba: haciendo la cuenta en columna, 8 × 3 = 24 (escribo 4 y me llevo 2) y 8 × 5 = 40, más 2, 42. Resultado 424 ✔

Ejemplo 3: 36 × 99 (distributiva con resta)

1. Pensamos en un número redondo cercano: 99 = 100 − 1.
2. Multiplicamos cada parte: 36 × 100 = 3600 y 36 × 1 = 36.
3. Restamos: 3600 − 36 = 3564.

Prueba: con productos parciales, 36 × 9 = 324 y 36 × 90 = 3240; 324 + 3240 = 3564 ✔

El mismo truco sirve para multiplicar por 9, 19, 49 o 101: siempre hay un número redondo al lado.

Ejemplo 4 (ESO): sacar factor común

La distributiva también se usa al revés. En 15 × 37 + 15 × 63, los dos productos tienen el 15, así que lo sacamos factor común: 15 × (37 + 63) = 15 × 100 = 1500.

Prueba: 15 × 37 = 555 y 15 × 63 = 945; 555 + 945 = 1500 ✔

Errores típicos

• Multiplicar solo una parte en la distributiva: 6 × (10 + 4) no es 60 + 4. Hay que multiplicar los dos sumandos: 60 + 24 = 84.
• Usar la distributiva con una multiplicación dentro: 3 × (4 × 5) es 60, no 3 × 4 × 3 × 5 = 180. La distributiva solo se aplica sobre sumas y restas.
• Confundir los elementos neutros: en la multiplicación es el 1; en la suma, el 0.
• Creer que la división también es conmutativa: 12 ÷ 3 = 4, pero 3 ÷ 12 = 0,25. En la división el orden sí importa, igual que en la resta.

Ejercicios con solución

Intenta hacerlos de cabeza usando las propiedades y luego comprueba la solución:

1. 5 × 13 × 2 → (5 × 2) × 13 = 10 × 13 = 130
2. 7 × (10 + 6) → 70 + 42 = 112
3. 9 × 48 → 9 × 50 − 9 × 2 = 450 − 18 = 432
4. 25 × 16 → 25 × 4 × 4 = 100 × 4 = 400
5. 12 × 101 → 12 × 100 + 12 × 1 = 1200 + 12 = 1212
6. 18 × 7 + 18 × 3 → 18 × (7 + 3) = 18 × 10 = 180

Si quieres ver alguno resuelto con el método del cuaderno, escríbelo en la calculadora de multiplicaciones y compara.

Preguntas frecuentes

Sigue aprendiendo

Todas las guías de multiplicar, ordenadas de la más fácil a la más avanzada, están en la sección de guías de multiplicaciones. Te recomendamos:

• Tablas de multiplicar: trucos para memorizarlas usando la propiedad conmutativa
• Multiplicar por dos cifras: los productos parciales paso a paso
• Multiplicar y dividir por 10, 100 y 1000: el atajo que usamos en los ejemplos
• Operaciones combinadas: en qué orden se hacen las sumas, multiplicaciones y paréntesis
• Multiplicación y división de fracciones