Raíz cuadrada exacta y entera: diferencias, resto y cuadrados perfectos

Al calcular una raíz cuadrada hay dos posibilidades: que el número sea un cuadrado perfecto y la raíz sea exacta, o que no lo sea y tengamos una raíz entera con resto. Entender esta diferencia es clave antes de aprender el método de la raíz cuadrada a mano. Puedes comprobar cada ejemplo en la calculadora de raíz cuadrada paso a paso.

Qué es la raíz cuadrada

La raíz cuadrada de un número es otro número que, multiplicado por sí mismo, da el primero. La raíz cuadrada de 144 es 12 porque 12 × 12 = 144. Se escribe √144 = 12.

Raíz cuadrada exacta

Una raíz es exacta cuando el número es un cuadrado perfecto, es decir, el resultado de multiplicar un número entero por sí mismo.

Ejemplos: √49 = 7, √144 = 12, √400 = 20. El resto es 0.

Raíz cuadrada entera y resto

Si el número no es un cuadrado perfecto, buscamos el mayor número cuyo cuadrado no se pase. Ese número es la raíz entera, y lo que sobra es el resto:

resto = número − (raíz entera)²

Ejemplo: √150. Probamos: 12 × 12 = 144 (no se pasa) y 13 × 13 = 169 (se pasa). La raíz entera es 12 y el resto es 150 − 144 = 6.

Más ejemplos

La regla del resto

El resto de una raíz cuadrada nunca puede ser mayor que el doble de la raíz. En √150, la raíz es 12 y el resto 6, que es menor que 24 ✔. Si te sale un resto mayor, la raíz cabía una más.

Cuadrados perfectos del 1 al 20

Un truco: un cuadrado perfecto nunca termina en 2, 3, 7 u 8. Si un número acaba en esas cifras, su raíz no es exacta.

¿Y si quiero decimales?

Una raíz entera se puede seguir calculando con decimales, igual que una división inexacta. Por ejemplo, √2 ≈ 1,41. Te enseñamos a hacerlo en cómo hacer una raíz cuadrada a mano.

Ejercicios

• √81 → 9, exacta
• √90 → 9, resto 9
• √225 → 15, exacta
• √300 → 17, resto 11

Cómo saber si una raíz es exacta sin hacerla entera

Antes de ponerte a calcular, hay dos pistas rápidas que te dicen si un número puede ser un cuadrado perfecto.

• Mira la última cifra. Los cuadrados perfectos solo terminan en 0, 1, 4, 5, 6 o 9. Si un número termina en 2, 3, 7 u 8, su raíz cuadrada nunca es exacta.
• Cuenta los ceros del final. Un cuadrado perfecto tiene un número par de ceros al final: 4900 = 70² sí puede serlo, pero 49 000 (tres ceros) no.
• La última cifra también te dice en qué termina la raíz: si el número acaba en 4, la raíz acaba en 2 u 8; si acaba en 6, en 4 o 6; si acaba en 9, en 3 o 7; si acaba en 1, en 1 o 9; si acaba en 5, en 5.

Ejemplos: ¿exacta o entera?

1. √2027. Termina en 7, así que no es exacta. Buscamos los cuadrados que la rodean: 45² = 2025 y 46² = 2116. La raíz entera es 45 y el resto, 2027 − 2025 = 2. Prueba: 45² + 2 = 2025 + 2 = 2027 ✔
2. √1764. Termina en 4, puede ser exacta. Está entre 40² = 1600 y 50² = 2500, y la raíz tiene que acabar en 2 u 8: probamos 42. 42 × 42 = 1764. Es exacta: √1764 = 42, resto 0 ✔
3. √3136. Termina en 6: la raíz acaba en 4 o 6 y está entre 50 y 60. Como 55² = 3025 es menor que 3136, probamos el número mayor, 56: 56 × 56 = 3136. Exacta: √3136 = 56 ✔
4. √2021. Termina en 1, pero eso no basta. 44² = 1936 y 45² = 2025, que ya se pasa. La raíz entera es 44 y el resto, 2021 − 1936 = 85. Prueba: 1936 + 85 = 2021 ✔

Recuerda: la última cifra solo sirve para descartar. Si termina en 0, 1, 4, 5, 6 o 9 todavía hay que comprobarlo multiplicando. Para repasar los cuadrados y cubos más usados, mira la guía de potencias.

Preguntas frecuentes

Sigue aprendiendo

• Potencias: qué son y cómo se calculan: cuadrados y cubos del 1 al 12.
• Cómo hacer una raíz cuadrada a mano: el algoritmo paso a paso.
• Calculadora de raíz cuadrada paso a paso: comprueba tus resultados con el resto y la prueba.