Raíz cúbica: qué es y cómo calcularla paso a paso (con ejemplos)
La raíz cúbica de un número es otro número que, multiplicado tres veces por sí mismo, da el número de partida. Por ejemplo, la raíz cúbica de 64 es 4, porque 4 × 4 × 4 = 64. Se escribe con un pequeño 3 en el símbolo de la raíz: ∛64 = 4. En esta guía verás qué es, cómo se calcula sin calculadora y cómo comprobar el resultado, con ejemplos resueltos y ejercicios con solución.
Qué es la raíz cúbica
La raíz cúbica es la operación contraria a elevar al cubo. Si ya sabes que el cubo de un número es ese número multiplicado tres veces por sí mismo (lo explicamos en la guía de potencias), la raíz cúbica hace el camino de vuelta:
- 5³ = 5 × 5 × 5 = 125, así que ∛125 = 5.
- 10³ = 1000, así que ∛1000 = 10.
El número de dentro se llama radicando y el pequeño 3 es el índice. En la raíz cuadrada el índice es 2 y no se escribe; en la cúbica siempre hay que ponerlo.
Tabla de cubos perfectos del 1 al 12
Un cubo perfecto es un número cuya raíz cúbica es exacta. Saberse esta tabla es la mejor ayuda para calcular raíces cúbicas de cabeza:
| Número | Cubo | Última cifra del cubo |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 8 | 8 |
| 3 | 27 | 7 |
| 4 | 64 | 4 |
| 5 | 125 | 5 |
| 6 | 216 | 6 |
| 7 | 343 | 3 |
| 8 | 512 | 2 |
| 9 | 729 | 9 |
| 10 | 1000 | 0 |
| 11 | 1331 | 1 |
| 12 | 1728 | 8 |
Fíjate en la última columna: cada cifra final del cubo corresponde a una sola cifra final de la raíz. El 1, 4, 5, 6, 9 y 0 se quedan igual; el 2 y el 8 se intercambian, y el 3 y el 7 también. Ese detalle es la base del truco siguiente.
El truco de la última cifra (para cubos perfectos)
Si sabes que un número de hasta seis cifras es un cubo perfecto, puedes sacar su raíz cúbica en dos pasos:
- Mira la última cifra del número y busca en la tabla en qué cifra termina la raíz.
- Tapa las tres últimas cifras y mira lo que queda. Busca el mayor número cuyo cubo cabe en lo que queda: esa es la cifra de las decenas.
- Junta las dos cifras y haz la prueba elevando al cubo.
Ejemplo 1: ∛13824
- Última cifra: 13824 termina en 4, y los cubos que terminan en 4 vienen de números que terminan en 4. La raíz termina en 4.
- Tapamos las tres últimas cifras (824) y queda 13. 2³ = 8 cabe en 13, pero 3³ = 27 ya no. La cifra de las decenas es 2.
- Resultado: ∛13824 = 24.
Prueba: 24 × 24 = 576 y 576 × 24 = 13824 ✔
Ejemplo 2: ∛571787
- Última cifra: termina en 7, y los cubos que terminan en 7 vienen de números que terminan en 3 (3³ = 27).
- Tapamos 787 y queda 571. 8³ = 512 cabe en 571, pero 9³ = 729 no. Las decenas son 8.
- Resultado: ∛571787 = 83.
Prueba: 83 × 83 = 6889 y 6889 × 83 = 571787 ✔
Ejemplo 3: ∛50 (raíz no exacta, con decimales)
50 no es un cubo perfecto, así que la raíz tendrá decimales. La calculamos cifra a cifra, buscando siempre el mayor número cuyo cubo no se pase de 50:
| Paso | Probamos | Cubo | ¿Se pasa de 50? |
|---|---|---|---|
| Unidades | 3 | 27 | No |
| Unidades | 4 | 64 | Sí → nos quedamos con 3 |
| Décimas | 3,6 | 46,656 | No |
| Décimas | 3,7 | 50,653 | Sí → nos quedamos con 3,6 |
| Centésimas | 3,68 | 49,836032 | No |
| Centésimas | 3,69 | 50,243409 | Sí → nos quedamos con 3,68 |
Resultado: ∛50 ≈ 3,68 (aproximado por defecto a las centésimas).
Prueba: 3,68³ = 49,836032, que es menor que 50, y 3,69³ = 50,243409, que es mayor. La raíz está entre los dos, así que 3,68 es correcto ✔
Raíz cúbica de números negativos y decimales
A diferencia de la raíz cuadrada, la raíz cúbica de un número negativo sí existe, porque un número negativo multiplicado tres veces sigue siendo negativo:
- ∛(−27) = −3, porque (−3) × (−3) × (−3) = −27.
- ∛(−125) = −5.
Con decimales, cuenta las cifras decimales de tres en tres: ∛0,008 = 0,2, porque 0,2 × 0,2 × 0,2 = 0,008 (tres decimales en el cubo, uno en la raíz). Y con ceros enteros, igual: ∛27000 = 30, porque 30³ = 27000.
Errores típicos
- Dividir entre 3: ∛27 no es 9. La raíz cúbica no es «la tercera parte», sino el número que multiplicado tres veces da 27, es decir, 3.
- Multiplicar solo dos veces en la prueba: 24 × 24 = 576 es el cuadrado; falta multiplicar otra vez por 24.
- Usar el truco de la última cifra con números que no son cubos perfectos: en ∛50 el truco no sirve; hay que aproximar como en el ejemplo 3.
- Confundir las cifras finales: recuerda que el 2 y el 8 se cambian entre sí, y el 3 y el 7 también.
- Olvidar el índice: si no escribes el 3, cualquiera leerá una raíz cuadrada.
Ejercicios con solución
- ∛4913 → termina en 3, así que la raíz termina en 7; queda 4 y 1³ = 1 cabe. Solución: 17 (17³ = 4913).
- ∛32768 → termina en 8, la raíz termina en 2; queda 32 y 3³ = 27 cabe. Solución: 32.
- ∛103823 → termina en 3, la raíz termina en 7; queda 103 y 4³ = 64 cabe. Solución: 47.
- ∛857375 → termina en 5, la raíz termina en 5; queda 857 y 9³ = 729 cabe. Solución: 95.
- ∛200 → no es exacta: 5,84³ = 199,176704 y 5,85³ = 200,201625. Solución: ≈ 5,84.
- ∛(−343) → −7, porque (−7)³ = −343.
Si te cuesta elevar al cubo, repasa primero la multiplicación por dos cifras: para comprobar una raíz cúbica hay que multiplicar dos veces seguidas.
Diferencia entre raíz cuadrada y raíz cúbica
| Raíz cuadrada | Raíz cúbica | |
|---|---|---|
| Índice | 2 (no se escribe) | 3 (se escribe) |
| Pregunta | ¿Qué número por sí mismo da el radicando? | ¿Qué número multiplicado tres veces da el radicando? |
| Ejemplo | √64 = 8 | ∛64 = 4 |
| Números negativos | No tiene raíz real | Sí: ∛(−8) = −2 |
| Agrupar cifras | De dos en dos | De tres en tres |
Para las raíces cuadradas tienes el método completo en cómo hacer una raíz cuadrada a mano y puedes comprobar cualquier resultado en la calculadora de raíz cuadrada paso a paso.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula la raíz cúbica sin calculadora?
Si el número es un cubo perfecto de hasta seis cifras, usa el truco de la última cifra: la última cifra te da las unidades de la raíz y las cifras que quedan al tapar las tres últimas te dan las decenas. Si no es exacta, busca entre qué dos cubos está y ve añadiendo decimales, comprobando cada vez que el cubo no se pase.
¿Cuál es la raíz cúbica de 27, 64 y 1000?
∛27 = 3, ∛64 = 4 y ∛1000 = 10, porque 3³ = 27, 4³ = 64 y 10³ = 1000.
¿En qué curso se estudia la raíz cúbica?
En la mayoría de colegios de España aparece en 1º y 2º de la ESO, junto con las potencias y la raíz cuadrada. Los cubos perfectos pequeños ya se ven en 6º de primaria.
