Potencias: qué son y cómo se calculan (con ejemplos resueltos)
Una potencia es una forma corta de escribir una multiplicación en la que se repite siempre el mismo número. En lugar de escribir 2 × 2 × 2 × 2 × 2, escribimos 2⁵ y leemos «dos elevado a cinco». Las potencias se estudian en 5º y 6º de primaria y se usan después en la ESO para la raíz cuadrada, la descomposición en factores primos o la notación científica. En esta guía verás cómo se calculan paso a paso, con ejemplos resueltos y su prueba.
Las partes de una potencia
En la potencia 2⁵ hay dos números:
- La base (2) es el número que se multiplica.
- El exponente (5) es el número pequeño de arriba y dice cuántas veces se repite la base como factor.
El resultado, 32, se llama valor de la potencia. Así, 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32.
Cómo se leen:
- 7² se lee «siete al cuadrado» o «siete elevado a dos».
- 4³ se lee «cuatro al cubo» o «cuatro elevado a tres».
- A partir del exponente 4 se dice «elevado a»: 3⁴ es «tres elevado a cuatro» (o «tres a la cuarta»).
Cómo calcular una potencia paso a paso
El truco es ir multiplicando de uno en uno y apuntar cada resultado parcial. Así no se pierde la cuenta de cuántas veces has multiplicado.
Ejemplo 1: 2⁵
- Escribimos la base tantas veces como dice el exponente: 2 × 2 × 2 × 2 × 2 (cinco doses).
- Multiplicamos los dos primeros: 2 × 2 = 4.
- Seguimos: 4 × 2 = 8.
- Seguimos: 8 × 2 = 16.
- Último factor: 16 × 2 = 32.
Resultado: 2⁵ = 32.
Prueba: si dividimos 32 entre 2 cinco veces tenemos que llegar a 1: 32 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1 ✔
Ejemplo 2: 3⁴
- 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3.
- 3 × 3 = 9.
- 9 × 3 = 27.
- 27 × 3 = 81.
Resultado: 3⁴ = 81.
Prueba: agrupando de dos en dos, 3⁴ = (3 × 3) × (3 × 3) = 9 × 9 = 81 ✔. Además, como 81 = 9², la raíz cuadrada de 81 es exacta y vale 9.
Ejemplo 3: 5³
- 5³ = 5 × 5 × 5.
- 5 × 5 = 25.
- 25 × 5 = 125.
Resultado: 5³ = 125 (un cubo de 5 cubitos de lado tiene 125 cubitos).
Prueba: 125 ÷ 5 = 25; 25 ÷ 5 = 5; 5 ÷ 5 = 1. Hemos dividido tres veces ✔
Si alguna multiplicación intermedia te cuesta, puedes comprobarla en la calculadora de multiplicaciones paso a paso.
Cuadrados y cubos del 1 al 12
Saberse esta tabla ahorra mucho tiempo, sobre todo los cuadrados, que son los que se usan en las raíces cuadradas.
| Número | Cuadrado (n²) | Cubo (n³) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 9 | 27 |
| 4 | 16 | 64 |
| 5 | 25 | 125 |
| 6 | 36 | 216 |
| 7 | 49 | 343 |
| 8 | 64 | 512 |
| 9 | 81 | 729 |
| 10 | 100 | 1000 |
| 11 | 121 | 1331 |
| 12 | 144 | 1728 |
Los números de la columna central (1, 4, 9, 16, 25…) son los cuadrados perfectos: sus raíces cuadradas son exactas. Puedes comprobar cualquiera en la calculadora de raíz cuadrada.
Potencias de base 10
Las potencias de 10 son las más fáciles: el exponente dice cuántos ceros hay detrás del 1.
- 10² = 100 (dos ceros)
- 10³ = 1000 (tres ceros)
- 10⁶ = 1 000 000 (seis ceros: un millón)
Por eso sirven para escribir un número según el valor de sus cifras (descomposición polinómica):
- 5307 = 5 × 10³ + 3 × 10² + 0 × 10 + 7
- 40 205 = 4 × 10⁴ + 2 × 10² + 5
Prueba del primero: 5000 + 300 + 0 + 7 = 5307 ✔. Multiplicar por una potencia de 10 es lo mismo que añadir ceros, como explicamos en multiplicar y dividir por 10, 100 y 1000.
Casos especiales: exponente 1 y exponente 0
- Cualquier número elevado a 1 es el propio número: 7¹ = 7.
- Cualquier número (distinto de 0) elevado a 0 vale 1: 7⁰ = 1, 25⁰ = 1.
- El 1 elevado a cualquier número sigue siendo 1: 1¹⁰⁰ = 1.
- El 0 elevado a cualquier exponente positivo es 0: 0³ = 0 × 0 × 0 = 0.
Propiedades de las potencias (misma base)
Cuando las bases son iguales, hay tres atajos que evitan muchos cálculos:
| Propiedad | Regla | Ejemplo | Prueba |
|---|---|---|---|
| Producto | se suman los exponentes | 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128 | 8 × 16 = 128 ✔ |
| Cociente | se restan los exponentes | 5⁶ : 5⁴ = 5² = 25 | 15 625 : 625 = 25 ✔ |
| Potencia de una potencia | se multiplican los exponentes | (3²)³ = 3⁶ = 729 | 9³ = 9 × 9 × 9 = 729 ✔ |
Ojo: estas reglas solo sirven si la base es la misma. 2³ × 3² no se puede juntar en una sola potencia: hay que calcular cada una (8 × 9 = 72).
Errores típicos
- Multiplicar la base por el exponente: 2³ no es 2 × 3 = 6, sino 2 × 2 × 2 = 8.
- Cambiar la base y el exponente: 3² = 9 pero 2³ = 8. No dan lo mismo.
- Repartir la potencia en una suma: (2 + 3)² = 5² = 25, mientras que 2² + 3² = 4 + 9 = 13. Primero se hace el paréntesis.
- Pensar que algo elevado a 0 vale 0: 7⁰ vale 1.
- Perder la cuenta de los factores: escribe la base tantas veces como diga el exponente antes de empezar a multiplicar.
Ejercicios con solución
- 4³ → 4 × 4 × 4 = 64
- 2⁷ → 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 128
- 7² → 49
- 6³ → 6 × 6 × 6 = 216
- 10⁵ → 100 000
- 2⁴ × 2² → 2⁶ = 64 (prueba: 16 × 4 = 64)
Las potencias también aparecen al descomponer en factores primos: por ejemplo, 72 = 2³ × 3² y 120 = 2³ × 3 × 5. Lo verás en la guía de mcm y mcd.
Preguntas frecuentes
¿Qué diferencia hay entre una potencia y una multiplicación?
Una potencia es una multiplicación en la que todos los factores son iguales. 3 × 4 es una multiplicación normal (12); 3⁴ significa 3 × 3 × 3 × 3 (81).
¿Por qué un número elevado a 0 da 1?
Por la regla del cociente: 5² : 5² = 5⁰, y cualquier número dividido entre sí mismo da 1 (25 : 25 = 1). Por eso 5⁰ = 1.
¿Qué relación hay entre las potencias y la raíz cuadrada?
Son operaciones inversas. Si 9² = 81, entonces la raíz cuadrada de 81 es 9. Para calcular raíces viene muy bien saberse los cuadrados del 1 al 12.
Sigue aprendiendo
- Raíz cuadrada exacta y entera: cuadrados perfectos y el resto.
- Cómo hacer una raíz cuadrada a mano: el algoritmo paso a paso.
- Raíz cúbica: la operación contraria a elevar al cubo, con ejemplos.
- Tablas de multiplicar: la base para calcular potencias de cabeza.
- Multiplicar y dividir por 10, 100 y 1000.
